数学教育白皮书：画图能不能帮上忙

本文性质： 观察 + 模型（Observation / Model）　证据标签： 观察 Observation／模型 Model／假设 Hypothesis／实证 Evidence

本篇涉及的证据类型：观察 Observation／模型 Model／实证 Evidence。凡属本院课堂观察与教学模型的部分，均不作效果承诺。

应用题讲了三遍还是不懂，很多时候不是算不会，而是关系没被看见。画图的作用不是让卷面好看，而是把藏在文字里的关系挪到纸上，让它可以被指着说。

图不是装饰，是把关系挪到纸上

本院数学课上有一个反复出现的场面：同一道行程题，口头讲的时候学生点头，动笔就算错，错在把两个速度相加。让他画一条线段、标出两人相向而行的位置，多数人能自己发现该相减。但也有反例：有的学生图画得很整齐，算式照旧错，因为图是照抄黑板上的，不是自己按题意画的。这两个场面说明的不是画图有效，而是画图有没有参与思考——自己画的图和抄来的图，作用完全不同。这一点本院只做过课堂层面的观察，没有测量，不能当成结论。

三种图：线段图、表格、草图

常用的三种图，各有适用场合。线段图适合处理部分与整体、相差与倍数、行程与工程这类有明确数量关系的题，画的时候先定一条基准，再把已知量按比例放上去，未知量用一个问号占位。表格适合处理多组对应关系，比如两种商品的价格与数量、几个人的年龄与年份，表格的用处是逼你把每一列的单位写清楚——单位写不清，多半是关系没想清。草图适合几何与空间题，不追求准确，追求把已知条件标全：相等的边、直角、中点，标一个划一个。三种图的共同点是：图上的每一个记号，都要能对应题里的一个条件。

三步：读关系、选图、回到算式

白皮书框架给了三步，用来判断什么时候该画、画到什么程度。第一步读关系：先不写算式，把题里的量列出来，标出哪些是已知、哪些是要求，再判断这些量之间是加减、乘除还是相等关系。第二步选图：按关系选图，有整体与部分就用线段，有多组对应就用表格，有位置与形状就用草图。选错图不致命，换一张即可。第三步回到算式：图只用来确定关系，落笔仍要写规范的算式与单位，写完再回图上看一眼，答案在图上是否说得通。三步的关键在第三步：很多学生停在图上，觉得看懂了就算做完，结果一到考试没有图就不会。这是本院数学课程的工作模型，未经检验。

三条边界：图不是答案、不替代书写、不强制人人画

三条边界。第一，图不是答案：解答题仍要有算式与过程，只画图不写算式的答案在多数评分标准里拿不到过程分。第二，不替代规范书写：图是草稿的一部分，誊写时要整理，草稿纸上的图与卷面上的表达是两件事。第三，不强制人人画：有的学生能在脑中完成关系转换，强迫他画图反而拖慢；判断标准是错因，如果错在关系就画，错在计算就不必画。还有一条：图示只是表征之一，不等同于理解，能画对图而说不清理由的，仍要追问理由。

今天就能开始

挑一道最近算错的应用题，不写算式，先按题意画一张图，标出每个记号对应的条件。

本文依据

• 观察来源： 本院数学课的课堂观察，无测量、无对照，仅记录现象。
• 模型出处： 三步图示法为本院数学课程的工作模型，未经检验。
• 待验证项： 自绘图示比提供现成图示更利于关系转换，为本院待验证的假设。
• 外部文献： Arcavi (2003) 视觉表征在学习中的作用；Stylianou & Silver (2004) 图示与解题；Polya (1945) 解题中的作图；NMAP (2008) 关于表征与理解的建议。