数学教育白皮书：练习量到底要多少

本文性质： 观察 + 假设（Observation / Hypothesis）　证据标签： 观察 Observation／模型 Model／假设 Hypothesis／实证 Evidence

本篇涉及的证据类型：观察 Observation／假设 Hypothesis／实证 Evidence。凡属本院课堂观察与教学模型的部分，均不作效果承诺。

同一类题，做四道和做十二道，效果差多少。这个问题在教室里被问了几十年，答案从来没有统一过，因为它问的其实不是一个数字。

四道和十二道，差在哪里

本院在数学课上做过一次很粗的比较，没有随机分组，只是按班级原有的进度拆开：一个单元的一半内容配十道同类题集中练，另一半配四道同类题加两道混编题。当堂小测，集中练习的那一组正确率更高，题也做得更快；一周后回看，混编的那一组在认出这是哪一类题上更稳，而集中练习的那一组有两三道题，学生说没见过，其实是同一结构换了问法。这次比较没有控制作业时间，也没有做延迟后测，样本只有两个班，只能算一次课堂观察。它提示的方向是：练习的效果不只看做了多少，还看题是怎么排的。

练习量的三个变量：分布、变式、反馈时机

练习量不是一个数字，是三个变量。第一是分布：同样的题量，集中在一天做完，与分散到三天，记忆的保持曲线不一样。第二是变式：同一结构换表面，学生要学会在变化里认出不变；如果十道题长得一模一样，练的是复制，不是识别。第三是反馈时机：当堂对答案，改的是当下的动作；隔天回看，改的是提取的路径。数量只是最容易控制的那一个，所以常被当成唯一的杠杆。过度练习有三种代价：时间挤占，把本该用于阅读或休息的时间挪走；程序化，题做得飞快但说不清为什么；迁移差，换一个情境就不认。

四加二加一：基础变式、混编、说理

四加二加一排法：四道基础变式，覆盖同一结构的不同表面；两道混编，与前一单元的内容混排，练的是识别与选择；一道说理，写出为什么这一步成立，不要求长，两三句即可。第二天只回看错的那一道，不铺新题。这个排法的用意是把题量压下来，把结构露出来：四道用来形成动作，两道用来练判断，一道用来检查理解。如果四道里错了两道以上，说明结构还没建立，这时加题没有意义，要退回例题重讲。这是本院数学课程的工作模型，不作效果承诺。

四条边界：不给统一题量、不废重复、承认结论不一、不承诺提分

四条边界。第一，不给出适用于所有人的题量：学情差异很大，同一个数字在不同班里含义不同。第二，不否定必要的重复：技能自动化需要重复，四道的前提是学生已经理解，对尚未理解的学生，重复只会固化错误。第三，承认研究结论并不一致：交错练习在部分研究中优于集中练习，在另一些研究中差异不显著，效果还受材料相似度与学习者水平影响，不能当成定律。第四，不承诺分数提高：练习排法改变的是学习过程的一部分，成绩还受考试形式、时间分配与情绪影响。

今天就能开始

下次布置练习按四加二加一排：四道变式、两道混编、一道说理，第二天只回看错的那一道。

本文依据

• 观察来源： 本院数学课两个班的课堂比较，未随机分组、未控制作业时间、无延迟后测，仅作现象描述。
• 模型出处： 四加二加一为数学课程的工作模型，用于组织练习，未经检验。
• 待验证项： 在题量不变的前提下提高变式与混编比例，可能改善题型识别；该命题正在验证中，需要等组设计与延时测，本院尚无数据。
• 外部文献： Cepeda 等 (2006) 关于间隔练习效应的元分析；Rohrer 与 Taylor (2007) 关于交错练习的实验；Rittle-Johnson 与 Star (2007) 关于比较解法的研究；Sweller (1988) 认知负荷理论。